整数問題N0.9：ガウス記号を用いた典型問題Ⅲ

奈良女子大学　理学部・生活環境学部（１９９８年）
実数 ｘ に対して、その整数部分を [ｘ] で表す。すなわち、[ｘ] は不等式
[ｘ] ≦ ｘ ＜[ｘ] ＋１
を満たす整数である。
（１）実数 ｘ に対して、等式　[ｘ] ＋[ｘ＋１/３] ＋[ｘ＋２/３] ＝[3ｘ] 　を示せ。
（２）正の整数 ｎ 、実数 ｘ に対して、
等式　[ｘ] ＋[ｘ＋１/ｎ] ＋[ｘ＋２/ｎ] ＋・・・＋[ｘ＋（ｎ－１）/ｎ ] ＝[ｎｘ] 　を示せ。


ガウス記号を用いた典型問題Ⅱの続き。ガウス記号の問題を攻略するには、やはり色々なガウス記号の問題を知ることが大事だと思うのです。この問題は有名なので解いていきましょう。


(1)　[3x] は任意の整数mに対して、下記のいずれかの式であらわせる。

(i)[3x]=3m
(ⅱ)[3x]=3m+1
(ⅲ)[3x]=3m+2

(i)整数mを用いて[3x] = 3mとあらわされる場合を考える。
この場合、下記①、②、③が成り立つ。
3x-1＜ 3m ≦3x
m ≦ x < m + 1/3 ⇒[x] = m…①
m+1/3 ≦ x+1/3 < m+2/3 ⇒[x+1/3] = m…②
m+2/3 ≦ x+2/3 < m+1 ⇒[x+2/3] = m…③
よって[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 3mとなり、[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = [3x]が成り立つ。

(ⅱ)整数mを用いて[3x] = 3m+1とあらわされる場合を考える。
この場合、下記①、②、③が成り立つ。
3x-1＜ 3m+1 ≦3x
m+1/3 ≦ x < m + 2/3 ⇒[x] = m…①
m+2/3 ≦ x+1/3 < m+1 ⇒[x+1/3] = m…②
m+1 ≦ x+2/3 < m+4/3 ⇒[x+2/3] = m+1…③
よって[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 3m+1となり、[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = [3x]が成り立つ。

(ⅲ)整数mを用いて[3x] = 3m+2とあらわされる場合を考える。
この場合、下記①、②、③が成り立つ。
3x-1＜ 3m+2 ≦3x
m+2/3 ≦ x < m + 1 ⇒[x] = m…①
m+1 ≦ x+1/3 < m+4/3 ⇒[x+1/3] = m+1…②
m+4/3 ≦ x+2/3 < m+5/3 ⇒[x+2/3] = m+1…③
よって[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 3m+2となり、[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = [3x]が成り立つ。

以上より、全ての実数xに対して[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = [3x]が成り立つ。

(2) 整数m、hを用いて、[nx] = nm+hとあらわす。(0≦h<n)
このとき、ガウス記号の定義より①式であらわせる。
nx-1<nm+h≦ nx ⇔ m + h/n ≦ x < m + (h+1)/n…①
また整数t(0≦t<n)を用いて②式であらわす。
m + (t+h)/n≦ x+t/n < m + (t+h+1)/n…②
0≦t+h<2nであり、今、Σ(t=0→n-1)[x+t/n]を考える。
(ⅰ)0≦t+h<nのとき、(0≦t<n-hのとき)[x+t/n] = m…③
(ⅱ)n≦t+h<2nのとき、(n-h≦t≦n-1のとき)[x+t/n] = m+1…④
また、(ⅰ)を満たすtはn-h個あり、(ⅱ)を満たすtはh個ある。よって
Σ [x+t/n]=(n-h)*m + h*(m+1) = nm+hとなり、[nx] と一致する。

整数問題No.8:ガウス記号を用いた典型問題Ⅱ(琉球大学入試問題)

α,βを1/α＋1/β = 1を満たす無理数と仮定する。この時、
(1)nを正の整数とすると、nαが整数にならないことを示せ。
(2)正の整数n,mを用いて[nα]＝[mβ]となるα、βが存在しないことを示せ。


※ガウス記号を用いた典型問題Ⅰを解いた皆さまならアプローチ方法がひらめくかも知れない。下記に解答を知るしておきます。


(1)nα が整数だと仮定する。kを任意の整数とすると、nα = kとあらわすことができる。
従って,α = k/nとなり、k、nが整数なので有理数であらわすことができる。
これはαが無理数であることに矛盾する。従ってnαは整数ではない。

(2) [nα]＝[mβ]が成立すると仮定する。
この時、任意の整数pを用いて[nα]=[mβ]=pとあらわすことができる。
ここで、(1)およびガウス記号の定義より下記の不等式が成立する。
nα-1<[nα]=p<nα⇔ n/(p+1)<1/α<n/p…①
mβ‐1<[mβ]=p<mβ⇔m/(p+1)<1/β<m/p…②

①+②⇔(n+m)/(p+1)<1<(n+m)/p
∴p<n+m<p+1…③

③式より、pが整数なのでn+mは整数にならない。これはn,mが整数であることに矛盾する。
従って、[nα]＝[mβ]は成立しない。

整数問題No.7:ガウス記号を用いた典型問題Ⅰ

実数Aに対して[A]とは、Aを超えない最大の整数である。
実数Xに対して[X^2] = [2X]となるXの不等式を求めよ。

※皆さまはガウス記号の問題をご存知ですか。こういう問題は、たいてい知らないと解けないし、知っていても難題が多いというのが個人的な印象。そこで、暇を見つけてガウス記号に焦点を当てた問題を随時掲載したいと考えています。問題の解答は下の方に書いておきます。









（ここから先解答）







定義より、下記が成り立つ。
X^2-1 < [X^2]≦ X^2…①
2X-1 < [2X] ≦ 2X…②

①、②を同時に満たす場合、
X^2-1 < 2X…③
2X- 1 < X^2…④
を満たすことが必要である。従ってXの範囲は下記である。
③⇔X^2 - 2X - 1< 0
∴ 1-√2 < X < 1+√2 …⑤
④⇔2X-1 < X^2
④⇔X^2 -2X+1 >0
∴X ≠ 1　…⑥

よって場合別けすると、
[x^2]の場合、
1-√2≦x＜0なら[x^2] = 0
0≦x＜1なら[x^2]=0
1≦x＜√2なら[x^2]=1
√2≦x＜√3なら[x^2]=2
√3≦x＜2なら[x^2]＝3
2≦x＜√5なら[x^2]＝4
√5≦x＜1＋√2なら[x^2]＝5

[2x]の場合
1-√2≦x＜0なら[2x] = －1
0≦x＜１/2なら[2x] = 0
1/2≦x＜１なら[2x] = 1
1≦x＜3/2なら[2x] = 2
3/2≦x＜2なら[2x] = 3
2≦x＜1＋√2なら[2x]＝４
となる。

等号を満たす場合、
0≦x≦1/2, ⇒ [x^2]=0, [2x] = 0
√2≦x＜3/2⇒ [x^2]=2, [2x] = 2
√3≦x＜2　⇒[x^2] =3,[2x] = 3
2 ≦x＜√5　⇒[x^2] =4,[2x] = 4
よってxの満たす範囲は、0≦x≦1/2, √2≦x＜3/2,√3≦x＜√5である。

整数問題No.5：（91年東京女子大学入試問題）

問題：abcd = a + b + c + dを満たす正の整数をa, b, c, dを求めよ。


下の方に解答を書いておきます。興味がある方は考えた上で解いてみてください。



1≦a≦b≦c≦dとなる例を考える。

a^3d≦ab^2d≦abcd ≦a+b+c+d≦4d…①
∴1≦ a^3 ≦ 4 　よってa = 1となる。
さらに1*b^2*d≦4dより b = 1, 2…②

(i)b = 1のとき、
c+d+2 = cd
cd - c = d+3 - 1
c(d-1)-(d-1) = 3
(c-1)(d-1)=3,
ここで、c≦dとなるので
c-1 = 1. d-1 = 3のみが解となる。
よってc=2,d=4が解。

(ⅱ)b =2のとき、
c+d+3 = 2cd
2cd - c = d +3
c*(2d - 1) = d + 3
c = (d + 3 ) / (2d - 1)※きれいに因数分解できないので分数式にしてみた。

以前も東大の問題でやった不等式の立て方ですけれども、
cが最低整数であるためには、d⊹3≧2d-1⇔4≧dに限られる。

b =2の場合、取りうるdの値は2、3、4に限られる。

(ⅱ-1)d=2のとき、cは分数となるのでd=2ではない。
(ⅱ-2)d=3のとき、cは分数となるのでd=3ではない。
(ⅱ-3)d=4のとき、c=1となり整数解をもつがb=2＞cとなり矛盾。よってd=4ではない。

以上より、1≦a≦b≦c≦dとなるa,b,c,dの組み合わせ(a,b,c,d)は、
(1,1,2,4)のみに限られる。

よって解の組み合わせは下記の通りである。
(a,b,c,d) = (1,1,2,4),(1,2,1,4)(2,1,1,4),
(1,1,4,2),(1,2,4,1),(2,1,4,1),
(1,4,1,2),(1,4,2,1),(2,4,1,1),
(4,1,1,2),(4,1,2,1),(4,2,1,1),

高次方程式の入試問題

問い1：a,b,cを実数として、x^4+x^3+ax^2+bx+c=0の解がx=-2、x=2+√3iだとするとa,b,cはいくつか。(久留米大学医学部)
問い2：a,bを実数とする。４次方程式x^4-x^3+2x^2+ax+b=0が1+2iを解にもつとき、a,bの値を求めよ。(琉球大学)

下記の定理を利用すると素早くとける。

定理：実数係数からなる高次方程式の場合、x=a+biが解なら、x=a-biも解となる。※a,bは実数係数とする。

証明：実数係数からなる方程式をf(x) = 0とする。今、α＝a+bi, β=a-biとおき、P(x)=(x-α)(x-β)を考える。

展開すると、P(x) = x^2 -(α+β)x +αβ = x^2 -2a +a^2 - b^2とあらわせるのでP(x)は実数係数からなる多項式である。よってf(x)をP(x)で割った時の商をQ(x)、余りをR(x)とおくと、f(x) = P(x)Q(x) + R(x)とあらわせる。ここで、P(x)が実数係数から成る多項式であるため、R(x)もまた実数係数から成る多項式である。また、R(x)はP(x)よりも次数が低い多項式であるため、R(x) =px+qとあらわせる。(p,qは実数係数)

以上より、f(x) = P(x)Q(x) + px+qと書きかえることができる。もしも、x=αが解の場合、
f(α) = P(α)Q(α) + pα+q = 0 + pα+q = 0⇔ pa + pbi + q = 0のようにあらわせるが、これを恒等的に満たすp,qはp=0、q＝０のみである。よって、f(x) = P(x)Q(x) = (x-α)(x-β)Q(x)となるので、x=αが解ならx=βも解である。

この定理は、高次方程式の問題でしばしば使うので記憶しよう。それでは本問に入る。

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(問い1：)x=2+√3iが解だとすると、その複素共役である2-√3iも解となる。
その他の解をαとすると、解と係数の関係より、αの値が下記のように定まる。
-(α+2+√3i+2-√3i-2) = -(α+2) = 1 ⇔α = -3…①

更に解と係数の関係より、cの値は下記のようになる。
c = -2*(-3)*(2+√3i)(2-√3i)= 6*7 =42 …②

以上より、x=-3、x=-2を代入すると下記が成り立つ。
81-27+9a-3b+42 = 9a-3b + 96 = 0 …③
⇔3a - b = -32 …③’
16-8+4a-2b+42 = 4a-2b+50 = 0…④
⇔2a - b = -25 …④’

連立方程式を解くと、 a = -7、b= 11を得る。以上より a = -7, b= 11, c= 42となる。

(問い2：a,bを実数とする。)

方程式の解を、c,dとすると下記のように変形できる。
x^4-x^3+2x^2+ax+b=(x-1-2i)(x-1+2i)(x-c)(x-d)=0…①

解と係数の関係より、下記が成り立つ。
c+d=-1かつcd=b/5…②

以上より、①式にx=1,および②式を代入すると、③式のようになる。
2+a+b = 4*(1-c)(1-d) = 4 - 4c - 4d +4cd⇔ a+b = 2 -4(c+d) +4cd⇔a+b/5 = 6…③
さらに、①式にx=-1,および②を代入すると、④式のようになる。
4 -a+b = 8(1+c)(1+d) = 8 + 8(c + d) + 8cd ⇔ a + 3b/5 = 4 …④

③、④をとくと、a =7 ,b = -5となる。