整数問題N0.9：ガウス記号を用いた典型問題Ⅲ

奈良女子大学　理学部・生活環境学部（１９９８年）
実数 ｘ に対して、その整数部分を [ｘ] で表す。すなわち、[ｘ] は不等式
[ｘ] ≦ ｘ ＜[ｘ] ＋１
を満たす整数である。
（１）実数 ｘ に対して、等式　[ｘ] ＋[ｘ＋１/３] ＋[ｘ＋２/３] ＝[3ｘ] 　を示せ。
（２）正の整数 ｎ 、実数 ｘ に対して、
等式　[ｘ] ＋[ｘ＋１/ｎ] ＋[ｘ＋２/ｎ] ＋・・・＋[ｘ＋（ｎ－１）/ｎ ] ＝[ｎｘ] 　を示せ。


ガウス記号を用いた典型問題Ⅱの続き。ガウス記号の問題を攻略するには、やはり色々なガウス記号の問題を知ることが大事だと思うのです。この問題は有名なので解いていきましょう。


(1)　[3x] は任意の整数mに対して、下記のいずれかの式であらわせる。

(i)[3x]=3m
(ⅱ)[3x]=3m+1
(ⅲ)[3x]=3m+2

(i)整数mを用いて[3x] = 3mとあらわされる場合を考える。
この場合、下記①、②、③が成り立つ。
3x-1＜ 3m ≦3x
m ≦ x < m + 1/3 ⇒[x] = m…①
m+1/3 ≦ x+1/3 < m+2/3 ⇒[x+1/3] = m…②
m+2/3 ≦ x+2/3 < m+1 ⇒[x+2/3] = m…③
よって[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 3mとなり、[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = [3x]が成り立つ。

(ⅱ)整数mを用いて[3x] = 3m+1とあらわされる場合を考える。
この場合、下記①、②、③が成り立つ。
3x-1＜ 3m+1 ≦3x
m+1/3 ≦ x < m + 2/3 ⇒[x] = m…①
m+2/3 ≦ x+1/3 < m+1 ⇒[x+1/3] = m…②
m+1 ≦ x+2/3 < m+4/3 ⇒[x+2/3] = m+1…③
よって[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 3m+1となり、[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = [3x]が成り立つ。

(ⅲ)整数mを用いて[3x] = 3m+2とあらわされる場合を考える。
この場合、下記①、②、③が成り立つ。
3x-1＜ 3m+2 ≦3x
m+2/3 ≦ x < m + 1 ⇒[x] = m…①
m+1 ≦ x+1/3 < m+4/3 ⇒[x+1/3] = m+1…②
m+4/3 ≦ x+2/3 < m+5/3 ⇒[x+2/3] = m+1…③
よって[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = 3m+2となり、[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = [3x]が成り立つ。

以上より、全ての実数xに対して[x]+[x+1/3]+[x+2/3] = [3x]が成り立つ。

(2) 整数m、hを用いて、[nx] = nm+hとあらわす。(0≦h<n)
このとき、ガウス記号の定義より①式であらわせる。
nx-1<nm+h≦ nx ⇔ m + h/n ≦ x < m + (h+1)/n…①
また整数t(0≦t<n)を用いて②式であらわす。
m + (t+h)/n≦ x+t/n < m + (t+h+1)/n…②
0≦t+h<2nであり、今、Σ(t=0→n-1)[x+t/n]を考える。
(ⅰ)0≦t+h<nのとき、(0≦t<n-hのとき)[x+t/n] = m…③
(ⅱ)n≦t+h<2nのとき、(n-h≦t≦n-1のとき)[x+t/n] = m+1…④
また、(ⅰ)を満たすtはn-h個あり、(ⅱ)を満たすtはh個ある。よって
Σ [x+t/n]=(n-h)*m + h*(m+1) = nm+hとなり、[nx] と一致する。