私大医学部数学その①:東京医科大学の整数問題

問題：自然数n に対して√(n+1) - √ｎ >1/100を満たすnの最大値はいくつか？

趣味で解いてみた。

解答 :
√(n+1) - √n > 1/100⇔ √(n+1) > √n + 1/100
nが自然数であるため√(n+1) >０かつ√n + 1/100＞0は自明であり、下記が成り立つ。
(√(n+1) )^2 > (√n + 1/100)^2
n + 1 > n + 1/10000 + √n/50
9999/200 > √n
10000/200 - 1/200 > √ｎ
50 - 1/200 > √ｎ
ここで√ｎ＞０より二乗しても不等式の等号は変わらないので
2500 - 1/2 + 1/40000 > n
2499.5 + 1/40000 >n
上式を満たす最大のnは以上より2499となる。