問い1：a,b,cを実数として、x^4+x^3+ax^2+bx+c=0の解がx=-2、x=2+√3iだとするとa,b,cはいくつか。(久留米大学医学部)
問い2：a,bを実数とする。４次方程式x^4-x^3+2x^2+ax+b=0が1+2iを解にもつとき、a,bの値を求めよ。(琉球大学)下記の定理を利用すると素早くとける。
定理：実数係数からなる高次方程式の場合、x=a+biが解なら、x=a-biも解となる。※a,bは実数係数とする。
証明：実数係数からなる方程式をf(x) = 0とする。今、α＝a+bi, β=a-biとおき、P(x)=(x-α)(x-β)を考える。
展開すると、P(x) = x^2 -(α+β)x +αβ = x^2 -2a +a^2 - b^2とあらわせるのでP(x)は実数係数からなる多項式である。よってf(x)をP(x)で割った時の商をQ(x)、余りをR(x)とおくと、f(x) = P(x)Q(x) + R(x)とあらわせる。ここで、P(x)が実数係数から成る多項式であるため、R(x)もまた実数係数から成る多項式である。また、R(x)はP(x)よりも次数が低い多項式であるため、R(x) =px+qとあらわせる。(p,qは実数係数)
以上より、f(x) = P(x)Q(x) + px+qと書きかえることができる。もしも、x=αが解の場合、
f(α) = P(α)Q(α) + pα+q = 0 + pα+q = 0⇔ pa + pbi + q = 0のようにあらわせるが、これを恒等的に満たすp,qはp=0、q＝０のみである。よって、f(x) = P(x)Q(x) = (x-α)(x-β)Q(x)となるので、x=αが解ならx=βも解である。
この定理は、高次方程式の問題でしばしば使うので記憶しよう。それでは本問に入る。
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(問い1：)x=2+√3iが解だとすると、その複素共役である2-√3iも解となる。
その他の解をαとすると、解と係数の関係より、αの値が下記のように定まる。
-(α+2+√3i+2-√3i-2) = -(α+2) = 1 ⇔α = -3…①
更に解と係数の関係より、cの値は下記のようになる。
c = -2*(-3)*(2+√3i)(2-√3i)= 6*7 =42 …②
以上より、x=-3、x=-2を代入すると下記が成り立つ。
81-27+9a-3b+42 = 9a-3b + 96 = 0 …③
⇔3a - b = -32 …③’
16-8+4a-2b+42 = 4a-2b+50 = 0…④
⇔2a - b = -25 …④’
連立方程式を解くと、 a = -7、b= 11を得る。以上より a = -7, b= 11, c= 42となる。
(問い2：a,bを実数とする。)
方程式の解を、c,dとすると下記のように変形できる。
x^4-x^3+2x^2+ax+b=(x-1-2i)(x-1+2i)(x-c)(x-d)=0…①
解と係数の関係より、下記が成り立つ。
c+d=-1かつcd=b/5…②
以上より、①式にx=1,および②式を代入すると、③式のようになる。
2+a+b = 4*(1-c)(1-d) = 4 - 4c - 4d +4cd⇔ a+b = 2 -4(c+d) +4cd⇔a+b/5 = 6…③
さらに、①式にx=-1,および②を代入すると、④式のようになる。
4 -a+b = 8(1+c)(1+d) = 8 + 8(c + d) + 8cd ⇔ a + 3b/5 = 4 …④
③、④をとくと、a =7 ,b = -5となる。
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