α,βを1/α＋1/β = 1を満たす無理数と仮定する。この時、
(1)nを正の整数とすると、nαが整数にならないことを示せ。
(2)正の整数n,mを用いて[nα]＝[mβ]となるα、βが存在しないことを示せ。
※
ガウス記号を用いた典型問題Ⅰを解いた皆さまならアプローチ方法がひらめくかも知れない。下記に解答を知るしておきます。
(1)nα が整数だと仮定する。kを任意の整数とすると、nα = kとあらわすことができる。
従って,α = k/nとなり、k、nが整数なので有理数であらわすことができる。
これはαが無理数であることに矛盾する。従ってnαは整数ではない。
(2) [nα]＝[mβ]が成立すると仮定する。
この時、任意の整数pを用いて[nα]=[mβ]=pとあらわすことができる。
ここで、(1)およびガウス記号の定義より下記の不等式が成立する。
nα-1<[nα]=p<nα⇔ n/(p+1)<1/α<n/p…①
mβ‐1<[mβ]=p<mβ⇔m/(p+1)<1/β<m/p…②
①+②⇔(n+m)/(p+1)<1<(n+m)/p
∴p<n+m<p+1…③
③式より、pが整数なのでn+mは整数にならない。これはn,mが整数であることに矛盾する。
従って、[nα]＝[mβ]は成立しない。
[2回]
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