整数問題No.7:ガウス記号を用いた典型問題Ⅰ

実数Aに対して[A]とは、Aを超えない最大の整数である。
実数Xに対して[X^2] = [2X]となるXの不等式を求めよ。

※皆さまはガウス記号の問題をご存知ですか。こういう問題は、たいてい知らないと解けないし、知っていても難題が多いというのが個人的な印象。そこで、暇を見つけてガウス記号に焦点を当てた問題を随時掲載したいと考えています。問題の解答は下の方に書いておきます。









（ここから先解答）







定義より、下記が成り立つ。
X^2-1 < [X^2]≦ X^2…①
2X-1 < [2X] ≦ 2X…②

①、②を同時に満たす場合、
X^2-1 < 2X…③
2X- 1 < X^2…④
を満たすことが必要である。従ってXの範囲は下記である。
③⇔X^2 - 2X - 1< 0
∴ 1-√2 < X < 1+√2 …⑤
④⇔2X-1 < X^2
④⇔X^2 -2X+1 >0
∴X ≠ 1　…⑥

よって場合別けすると、
[x^2]の場合、
1-√2≦x＜0なら[x^2] = 0
0≦x＜1なら[x^2]=0
1≦x＜√2なら[x^2]=1
√2≦x＜√3なら[x^2]=2
√3≦x＜2なら[x^2]＝3
2≦x＜√5なら[x^2]＝4
√5≦x＜1＋√2なら[x^2]＝5

[2x]の場合
1-√2≦x＜0なら[2x] = －1
0≦x＜１/2なら[2x] = 0
1/2≦x＜１なら[2x] = 1
1≦x＜3/2なら[2x] = 2
3/2≦x＜2なら[2x] = 3
2≦x＜1＋√2なら[2x]＝４
となる。

等号を満たす場合、
0≦x≦1/2, ⇒ [x^2]=0, [2x] = 0
√2≦x＜3/2⇒ [x^2]=2, [2x] = 2
√3≦x＜2　⇒[x^2] =3,[2x] = 3
2 ≦x＜√5　⇒[x^2] =4,[2x] = 4
よってxの満たす範囲は、0≦x≦1/2, √2≦x＜3/2,√3≦x＜√5である。