整数問題No.5：（91年東京女子大学入試問題）

問題：abcd = a + b + c + dを満たす正の整数をa, b, c, dを求めよ。


下の方に解答を書いておきます。興味がある方は考えた上で解いてみてください。



1≦a≦b≦c≦dとなる例を考える。

a^3d≦ab^2d≦abcd ≦a+b+c+d≦4d…①
∴1≦ a^3 ≦ 4 　よってa = 1となる。
さらに1*b^2*d≦4dより b = 1, 2…②

(i)b = 1のとき、
c+d+2 = cd
cd - c = d+3 - 1
c(d-1)-(d-1) = 3
(c-1)(d-1)=3,
ここで、c≦dとなるので
c-1 = 1. d-1 = 3のみが解となる。
よってc=2,d=4が解。

(ⅱ)b =2のとき、
c+d+3 = 2cd
2cd - c = d +3
c*(2d - 1) = d + 3
c = (d + 3 ) / (2d - 1)※きれいに因数分解できないので分数式にしてみた。

以前も東大の問題でやった不等式の立て方ですけれども、
cが最低整数であるためには、d⊹3≧2d-1⇔4≧dに限られる。

b =2の場合、取りうるdの値は2、3、4に限られる。

(ⅱ-1)d=2のとき、cは分数となるのでd=2ではない。
(ⅱ-2)d=3のとき、cは分数となるのでd=3ではない。
(ⅱ-3)d=4のとき、c=1となり整数解をもつがb=2＞cとなり矛盾。よってd=4ではない。

以上より、1≦a≦b≦c≦dとなるa,b,c,dの組み合わせ(a,b,c,d)は、
(1,1,2,4)のみに限られる。

よって解の組み合わせは下記の通りである。
(a,b,c,d) = (1,1,2,4),(1,2,1,4)(2,1,1,4),
(1,1,4,2),(1,2,4,1),(2,1,4,1),
(1,4,1,2),(1,4,2,1),(2,4,1,1),
(4,1,1,2),(4,1,2,1),(4,2,1,1),