Q21:しゃっくりがとまらない。⇒英語で言うと？

I can't stop hiccupping.

しゃっくりはhiccupという単語で表現します。本文のように、動詞でhiccupと使う場合もありますが、名詞的にも使います。例えば、have [get] (the) hiccups⇒ しゃっくりが出る.という意味になります。しゃっくりは横隔膜の思いがけない痙攣でおきます。よって、しゃっくりを英語で説明する場合下記の通りです。

Hiccups result from involuntary spasms of the diaphragm.

spasmは痙攣、diaphragmは横隔膜、involuntaryは思いがけないという意味です。
なかなか難しい表現が連続しますね。そういった意味でもしゃっくりの記事は有意義かもしれない。

その他例文：
I hiccup a lot.⇒しゃっくりがよく出ます。
The fright has stopped my hiccup.⇒びっくりしてしゃっくりが止まった。

こういった表現も覚えておこう。以上です。

Q20：蛇口をひねって閉めてください⇒英語で？？？

Please turn the faucet off.

faucetが蛇口であり、主として米国英語です。イギリス英語なら、

Please turn the tap off.

といいます。蛇口を開く場合は、

Please turn the faucet/tap on.

といいます。後は蛇口を回す方向を指定する場合、

Please turn the faucet to the left/right.

のように方向を表す表現を足します。

高次方程式の入試問題

問い1：a,b,cを実数として、x^4+x^3+ax^2+bx+c=0の解がx=-2、x=2+√3iだとするとa,b,cはいくつか。(久留米大学医学部)
問い2：a,bを実数とする。４次方程式x^4-x^3+2x^2+ax+b=0が1+2iを解にもつとき、a,bの値を求めよ。(琉球大学)

下記の定理を利用すると素早くとける。

定理：実数係数からなる高次方程式の場合、x=a+biが解なら、x=a-biも解となる。※a,bは実数係数とする。

証明：実数係数からなる方程式をf(x) = 0とする。今、α＝a+bi, β=a-biとおき、P(x)=(x-α)(x-β)を考える。

展開すると、P(x) = x^2 -(α+β)x +αβ = x^2 -2a +a^2 - b^2とあらわせるのでP(x)は実数係数からなる多項式である。よってf(x)をP(x)で割った時の商をQ(x)、余りをR(x)とおくと、f(x) = P(x)Q(x) + R(x)とあらわせる。ここで、P(x)が実数係数から成る多項式であるため、R(x)もまた実数係数から成る多項式である。また、R(x)はP(x)よりも次数が低い多項式であるため、R(x) =px+qとあらわせる。(p,qは実数係数)

以上より、f(x) = P(x)Q(x) + px+qと書きかえることができる。もしも、x=αが解の場合、
f(α) = P(α)Q(α) + pα+q = 0 + pα+q = 0⇔ pa + pbi + q = 0のようにあらわせるが、これを恒等的に満たすp,qはp=0、q＝０のみである。よって、f(x) = P(x)Q(x) = (x-α)(x-β)Q(x)となるので、x=αが解ならx=βも解である。

この定理は、高次方程式の問題でしばしば使うので記憶しよう。それでは本問に入る。

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(問い1：)x=2+√3iが解だとすると、その複素共役である2-√3iも解となる。
その他の解をαとすると、解と係数の関係より、αの値が下記のように定まる。
-(α+2+√3i+2-√3i-2) = -(α+2) = 1 ⇔α = -3…①

更に解と係数の関係より、cの値は下記のようになる。
c = -2*(-3)*(2+√3i)(2-√3i)= 6*7 =42 …②

以上より、x=-3、x=-2を代入すると下記が成り立つ。
81-27+9a-3b+42 = 9a-3b + 96 = 0 …③
⇔3a - b = -32 …③’
16-8+4a-2b+42 = 4a-2b+50 = 0…④
⇔2a - b = -25 …④’

連立方程式を解くと、 a = -7、b= 11を得る。以上より a = -7, b= 11, c= 42となる。

(問い2：a,bを実数とする。)

方程式の解を、c,dとすると下記のように変形できる。
x^4-x^3+2x^2+ax+b=(x-1-2i)(x-1+2i)(x-c)(x-d)=0…①

解と係数の関係より、下記が成り立つ。
c+d=-1かつcd=b/5…②

以上より、①式にx=1,および②式を代入すると、③式のようになる。
2+a+b = 4*(1-c)(1-d) = 4 - 4c - 4d +4cd⇔ a+b = 2 -4(c+d) +4cd⇔a+b/5 = 6…③
さらに、①式にx=-1,および②を代入すると、④式のようになる。
4 -a+b = 8(1+c)(1+d) = 8 + 8(c + d) + 8cd ⇔ a + 3b/5 = 4 …④

③、④をとくと、a =7 ,b = -5となる。

整数問題No.4:京大の数学/三角関数との融合問題

問い：tan1°は有理数か？(受験界で最も短いと言われている難題の一つです。解答は下の方に書きます。考えてみてください。)












(ここから先解答)



tan1°が有理数だと仮定する。仮定が真なら、
整数n≧0に対してtan2^n°も有理数となる。

証明：n=0のとき、tan1°は有理数であり、成り立つ。
n=mのとき成り立つとしてn=m+1のとき、
tan(2^(m+1))=tan(2^m*2)={2tan(2^m)°}/{1-(tan(2^m)°)^2}と変形可能であり、
明らかに成り立つ。従ってtan1°が有理数だとtan2^n°も有理数となる。

前述より、tan(2)°およびtan(32)°は有理数となるので、有理数p,qを用いてtan2=p、tan32=qとおくと
q=tan(32)° = tan(30+2)° = (tan30°+tan2°)/(1-tan30°*tan2°) =(√3+p)/(1-√3p)
q - √3pq = √3+p
q - p = √3(pq+1)
これを満たすp,qは有理数であるためq=pかつ、pq=-1に限られる。ところが、
p^2=-1となり、p=±iとなるので矛盾する。従って、tan1は有理数ではない。

図形と方程式定番問題Ⅰ：私大医学部編

(1)円：x^2+y^2 = 4 に点(2,4)から引いた接線の方程式を求めよ。(関西医科大学)
(2)円：x^2+y^2 = 1…①と円(x-3)^2+(y-4)^2=r(r>0)…②がある。この二円が二点で交わるためにrが満たすべき条件を求めよ。(久留米大学医学部)
(3)(2)の二円の交点を通る直線の方程式を求めよ。(久留米大学医学部)

典型的な図形と方程式の問題です。こういう問題が解けるか否かが数学の基礎力だと思います。
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(1)点(2,4)を通る直線の式を下記①式のように定義する。
ax+by+c = 0…①(a,b,cは実数であり、a,bの少なくとも一方は0ではないものとする)
①は、(2,4)を通るので②式を満たす。
2a+4b+c = 0⇔c = -2(a+2b)…②
②を①に代入すると、下記のようになる。
ax+by-2a-4b=0…③
(ⅰ)a=0、b≠0のとき、y=4となるがx^2+y^2 = 4 と解をもたないので不適。よってa≠0
(ⅱ)a≠0、b=0のとき、x=2となるがこれは円と(2,0)で接している。よってx=2は接線である。
(ⅲ)a≠0、b≠0のとき、点と直線の距離の公式より
|2a+4b|/√(a^2+b^2)=2
|a+2b|/√(a^2+b^2)=1…④
ここで④式の両辺を二乗すると下記⑤式が成り立つ。
a^2+4ab+4b^2 = a^2+b^2
3b^2+4ab=0
b(3b+4a)=0…⑤
⑤よりb≠0なのでa=-3b/4となる。この値を③式に代入するともうひとつの接線である⑥式を得る。
-3bx/4+by-2(-3b/4+2b)=0
-3x+4y-2(-3+8)=0
-3x+4y-10=0
3x-4y+10=0…⑥
以上より、求める接線は、x=2 or 3x-4y+10=0である。
注:y=m(x-2)+4とおきたい気持ちもわかるが、x=2という解が探せない。
ax+by+c=0のほうが直線を一般的に表現できるし、確実に解を探せるのだ。
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(2)証明に入る前に：
二円が交わる条件ってのは一つのパターン問題。知らなければいけないのは円の位置関係と中心間距離の関係である。詳細は下記のページに詳しく書いてある。
⇒http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/3grade/circle/circle4.htm
二円が交わる条件の不等式を証明するためには三角形の二辺の和の性質を理解する必要がある。
⇒http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1161212446
以上の前知識があれば簡単に解ける。

二円の中心点は(0,0)および(3,4)であり、その距離dは点と点の距離の公式より下記の通りになる。

d=√{(3-0)^2+(4-0)^2}=5…①
更に二円が交わる条件より、下記は自明。
|√r-1|<d=5<√r+1…②
ここで、|√r-1|<dの解を考えると、下記③、④のようになる。
√r<1のとき、1-√r<5⇔-4<√r<1…③
√r≧1のとき、√r-1<5⇔1≦√r<6…④
一方、d=5<√r+1の解を考えると、下記⑤のようになる。
5<√r+1⇔4<√r…⑤
よって条件を満たすrは、下記⑥の時に限られる。
4<√r<6
16<r<36…⑥
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これもある意味パターン問題。詳細は下記を参考。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/circle_brief4.htm
二円の交点を通る図形の方程式を下記の式で定義する。
(x-3)^2+(y-4)^2-r - k(x^2+y^2-1) = 0
k=1の時、図形は直線となるので、代入すると
-6x+9-8y+16-r+1=0
6x+8y+r-26=0…⑦
となる。以上より、⑦式が条件を満たす直線の方程式である。