整数問題No.4:京大の数学/三角関数との融合問題

問い：tan1°は有理数か？(受験界で最も短いと言われている難題の一つです。解答は下の方に書きます。考えてみてください。)












(ここから先解答)



tan1°が有理数だと仮定する。仮定が真なら、
整数n≧0に対してtan2^n°も有理数となる。

証明：n=0のとき、tan1°は有理数であり、成り立つ。
n=mのとき成り立つとしてn=m+1のとき、
tan(2^(m+1))=tan(2^m*2)={2tan(2^m)°}/{1-(tan(2^m)°)^2}と変形可能であり、
明らかに成り立つ。従ってtan1°が有理数だとtan2^n°も有理数となる。

前述より、tan(2)°およびtan(32)°は有理数となるので、有理数p,qを用いてtan2=p、tan32=qとおくと
q=tan(32)° = tan(30+2)° = (tan30°+tan2°)/(1-tan30°*tan2°) =(√3+p)/(1-√3p)
q - √3pq = √3+p
q - p = √3(pq+1)
これを満たすp,qは有理数であるためq=pかつ、pq=-1に限られる。ところが、
p^2=-1となり、p=±iとなるので矛盾する。従って、tan1は有理数ではない。