I enjoyed playing tug of war at the sports meet. 運動会は、色々な言い回しがあります。meetとはmeetingのことであり、sports meetは主にイギリスで用いられる表現です。athletic meetも陸上競技会という意味で用いられる表現ですが、主として米国で使われるそうです。at the field day.でも可能。こちらも米国で主として用いられ運動会の意味をもつ。
I'll undergo a complete medical check-up tomorrow. 詳細は、http://www.alc.co.jp/eng/esp/nurse/31.htmlに記述がある。人間ドックでは通じないですよ。アルクで紹介があるように、健康診断の場合は general checkupです。undergoも医療ではよく使う表現です。undergo an operationだと手術を受けるという意味になります。あとは、Weblio等で調べてみるとundergo aclinical surveyという表現も人間ドックを受けるという意味になるそうです。