aを3以上、9999以下の奇数とする。
a^2-aが10000で割り切れるとき、aの値を全て求めよ。
自分がやったやり方を書いておく。
[解答]
a = 2n+1とおく。ここでnは
3≦a≦9999
⇔1≦n≦4999…①を満たす自然数とする。
また、a^2-a = a(a-1) = 2n*(2n+1) が10000で割り切れるので、
任意の自然数kを用いて下記が成立する。
(2n+1)*2n = 10000k
(2n+1)*n = 5000k = 5^4*2^3*k…②
②より、2n+1の値は①の範囲で常に奇数である。
よって右辺が偶数なので、nは必然的に偶数に限られ、2^3の倍数となるはずである。
また、2n+1は5^4の倍数でなければならない。
したがって、自然数p,qを用いて下記のようにあらわせる。
2n+1 = 5^4*p = 625*p …③
n = 8q …④
④を③に代入すると、下記の不定方程式をえる。
16q + 1 = 625p
625p - 16q = 1…⑤
これを解くのは簡単であり、(p,q) = (1, 39) = (17, 664)…等を得る。ところが、p＝17のとき、
a = 2n+1 = 625p = 625＊17 > 625*16 = 5^4*2^4 = 10^4となるのでaは明らかに10000を超える。
従って、(p,q) = (1, 39)に解は限られる。
このときのaは、a = 2n + 1 = 625*p = 625より、625のみがaの解だとわかる。
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