ある整数は、素数P,Qを用いてN ＝ P^2*Qとあらわせる。
このとき、Nの約数の総和が2Nと一致するようなNを全て求めよ。
この解法をいろいろ考えたんだけど、凄く簡単に解ける方法があって感動した。
いきなり答えを見るとつまらないのでまずは考えてほしい。答えは↓の方に小さく書いておく。
(ここから先解法)
(解法)
約数の総和をSとすると
S = 1 + P + Q + PQ + P^2 + P^2Qである。
問題文より、S=2N = 2P^2Qを満たすので
2P^2Q = P^2Q + P^2 + PQ + P + Q + 1
(-P^2 + P + 1)Q +(P^2+P+1) = 0
Q = (P^2+P+1)/(P^2 -P- 1)
Q = 1 + 2(P+1)/(P^2-P-1) …① ※この式は多項式の割り算で求める。
Qが整数であるためには、必然的に下記が成り立つ。
2(P+1)≧(P^2-P-1)
P^2-3P-3≦0
(3-√21)/2 ≦ P ≦ (3＋√21)/2
ここで、
(3-√21)/2 <(3-√16)/2 = -1/2
(3+√21)/2<(3+√25)/2 = 4
であり、Pの満たすべき不等式は、-1/2＜P＜4に限られる。
更にPは素数なのでPの値は、2か3のみである。
(ⅰ)P =2 の時、Q = 1+2*3/(4-2-1)= 7となり、Qもまた素数より条件を満たす。
(ⅱ)P =3 の時、Q = 1+2*4/(9-3-1)=1+8/5 となり、Qは素数にならず条件を満たさない。
よって、(P,Q) = (2,7)のみが解であり、N=4*7=28となる。
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