カルノーサイクルの熱力学的な意味はさておき、まずはどんなサイクルなのか紹介しようと思います。下記画像をご覧ください。
状態A,B,C,DをそれぞれA(Pa,Va,Ta),B(Pb,Vb,Tb),C(Pc,Vc,Tc),D(Pd,Vd,Td)とします。
カルノーサイクルの場合、下記のような4つの可逆変化を行うサイクルとなっています。
A⇒B：等温膨張
B⇒C：断熱膨張
C⇒D：等温圧縮
D⇒A：断熱圧縮
入力した熱量Qin、外部にしたトータルの仕事Wtを用いて熱機関の効率ηは一般的にη= Wt/Qinとなります。本日の議題は理想気体でカルノーサイクルにおける効率ηを計算してみようということです。(カルノーサイクルにおける効率をカルノー効率といいます。)小難しいことは考えず一個一個のプロセスで熱力学の第一法則を立ててみましょう。
■A⇒B：等温膨張
ΔUab = Qab ＋ Wab …①
等温なので、Ta = Tb。また理想気体だとΔUab＝0となる。よって
Qab= -Wab = ∫PdV = nRTa*dV/V = nRTa*Ln(Vb/Va)…②
■B⇒C：断熱膨張
ΔUbc = Qbc ＋ Wbc …③
断熱過程なのでQbc = 0となる。従って、
Wbc = U(Tc) - U(Tb) = U(Tc) - U(Ta) … ④
■C⇒D：等温圧縮
ΔUcd = Qcd ＋ Wcd …⑤
等温なので、Tc = Td。また理想気体だとΔUcd＝0となる。よって
Qcd= -Wcd = ∫PdV = nRTc*dV/V = nRTc*Ln(Vd/Vc)…⑥
■D⇒A：断熱圧縮
ΔUda = Qda ＋ Wda …⑦
断熱過程なのでQbc = 0となる。従って、
Wda = U(Ta) - U(Td) = U(Ta) - U(Tc) … ⑧
以上より、正味の仕事Wtは④、⑧を代入すると次式のようになる。
Wt = -(Wab + Wbc + Wcd + Wda) = -(Wab + Wcd) = Qab + Qcd
よって、熱効率ηはQin = Qabとなるので次式の通りになる。
η = (Qab + Qcd)/Qab = 1 + Qcd/Qab…⑨
大分本質的な形になりましたね。
QcdとQabに②式と⑥式を代入しましょう。すると、
η = 1 + (Tc/Ta)*Ln(Vb/Va)/{Ln(Vd/Vc)}…⑩
ここで、ポアソンの関係式を思い出すと下記が成り立ちます。
Vb^(γ‐1)*Tb = Vb^(γ‐1)*Ta = Vc^(γ‐1)*Tc…⑪
Vd^(γ‐1)*Td = Vd^(γ‐1)*Tc = Va^(γ‐1)*Ta…⑫
⑪×⑫⇔(Vb*Vd)^(γ‐1) = (Va*Vc)^(γ‐1) …⑬
∴Vb*Vd= Va*Vc ⇔ Vb/Va = Vc/Vd…⑬'
⑬’を⑩に代入すると、下記のようになります。
η = 1 + Qcd/Qab ＝1 - (Tc/Ta) …⑭
ここで、おさらい。Qabは高温熱源からの熱源を表していますのでQH,Qcdは低温熱源からの熱を表していますのでQLと書くことにします。またTa、Tcも同様にTH,TLと表記します。世の一般的な教科書では、下記のように書くほうが一般的かもしれません。
η = 1 + QL/QH ＝1 - (TL/TH) …⑭’
更に、⑭式を見てわかるようにカルノーサイクルでは下記の式が成り立ちます。
QL/QH = -(TL/TH)
QL/TL + QH/TL = 0…⑮
この⑮式こそ、エントロピーの発見につながる重要な式なのです。この話はのちにクラウジウスの不等式の話でします。カルノーサイクルとカルノー効率はここまでです。
[8回]
PR
COMMENT