自然数Nに対して、N^2の下二桁がNと一致するとき、Nの値を全て求めよ。ヒント：下二桁がNと一致するということは、暗にNが二桁の自然数であることを意識しよう。解法は下記に記すが、実はこの問題解法二つある。今回はそのうちの一個で解くね。暇がある人はもう一つの解法を調べてみよう。
N=10a+bとおく。ここで、a,bは0<a<10,0<b<10を満たす整数とする。
N^2 とNの下二けたが一致する場合、N^2 - Nの下二けたはいうまでもなく｢00｣である。
(つまり100の倍数だということ。)
N^2-Nの一の位の数が０となる数は、b=0、1、5、6の4通りに限られる。
以下、これらの場合について場合別けして考えていく。
(1)b = 0の時、
N^2 - N = 100a^2 - 10a
ここで、100a^2は100の倍数となるが、10aは0<a<10の範囲で100の倍数になることはない。
よってb=0ではない。
(2)b = 1の時
N^2 - N = (100a^2 +20a + 1) - (10a + 1)
N^2 - N = 100a^2 + 10a
ここで、100a^2は100の倍数となるが、10aは0<a<10の範囲で100の倍数になることはない。
よってb=1ではない。
(3)b =5の時、
N^2 - N = (100a^2 + 100a + 25) - (10a +5)
N^2 - N = 100a^2 + 90a + 20
N^2 - N = 100a^2 +10(9a+2)
これが100の倍数になるaはa = 2に限られる。すなわち、
N = 10*2 + 5 = 25が答え。
(4)b =6の時、
N^2 - N = (100a^2 + 120a + 36) - (10a + 6)
N^2 - N = (100a^2 + 110a + 30)
N^2 - N = 100a^2 +10(11a + 3)
これが100の倍数になるaはa = 7に限られる。従って
N = 10*7 + 6 = 76
以上より↑の条件を満たすNはN = 25, 76のみである。
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